Rozwiązanie 2609277. W ciągu arytmetycznym suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa 2, a iloraz pierwszego i czwartego jest równy 1. Napisz wzór ogólny ciągu oraz wzór na sumę początkowych wyrazów tego ciągu. Wyznacz , dla których suma kolejnych, początkowych wyrazów ciągu jest mniejsza od 50. Rozwiązanie 3277220.

Granica ciągu Granica właściwa ciągu : Liczba g jest granicą ciągu nieskończonego , jeżeli do każdego otoczenia liczby należą prawie wszystkie wyrazy ciągu , co zapisujemy lub . Wyrażenie „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza „wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby wyrazów”. Ciąg , który ma granicę właściwą nazywamy zbieżnym. Ciągi, które nie są zbieżne nazywamy rozbieżnymi. Granica niewłaściwa ciągu : Ciąg nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy Ciąg nazywamy rozbieżnym do wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy Twierdzenia o ciągach zbieżnych · Ciąg stały, czyli ciąg, którego wszystkie wyrazy są równe pewnej liczbie , jest zbieżny i liczba jest jego granicą. · Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy. · Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony, ale nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny (np. ciąg naprzemienny ) . · Jeżeli i , to : . · Jeżeli i i prawie wszystkie wyrazy ciągów i spełniają warunek , to . · Twierdzenie o trzech ciągach. Jeżeli i i jeśli jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność , to . · Twierdzenie o ciągu monotonicznym: Każdy ciąg niemalejący i ograniczony z góry jest zbieżny. Każdy ciąg nierosnący i ograniczony z dołu jest zbieżny. · Twierdzenie Bolzano – Weierstrassa: Z każdego ciągu liczbowego ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. Granice niektórych ciągów , , , jeśli , , Jeśli , to: oraz

Takie ciągi nazywamy ciągami geometrycznymi. Definicja: Ciąg geometryczny. ciągiem geometrycznym wyrazy; jego pierwszy wyraz jest różny od , a każdy następny wyraz jest iloczynem poprzedniego wyrazu i pewnej ustalonej liczby. Liczbę tę nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy przez. Jeśli ciąg jest skończony i ma k ≥ 3 Wyrazy ciągu równe 0. Aby wyznaczyć, które wyrazy ciągu są równe 0, musimy przyrównać dany ciąg do 0. Pamiętajmy jednak, że wyrazy ciągu to liczby naturalne, a więc zaczynające się od 1. Przyjrzyjmy się poszczególnym ciągom oraz przyrównajmy je do 0: a) n = -6 oraz n = 6 Znajdź wszystkie wyrazy ciągu a n =4n - 3 należące do przedziału Zad. 15 Znajdź wszystkie wyrazy ciągu a n =3n - 5 należące do przedziału Zad. 16 Dany jest ciąg a n = n 2 +4n -8 a) którym wyrazem tego ciągu jest liczba 24? b) zbadaj, czy liczba 10 jest wyrazem tego ciągu. Zad. 17 Dany jest ciąg a n =
Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji f oraz narysuj jej wykres. 3. Rozwiąż nierówność: 1 + (x2 – 2x) + (x2 – 2x)2 + … ≤ 1. 4. Udowodnij, powołując się na definicję granicy ciągu liczbowego, że liczba 3 jest granicą ciągu (an), gdzie an = . Następnie ustal, które wyrazy ciągu (an) są oddalone od liczby 3 o mniej niż 0,002.
Ciągi. Treści zadań z matematyki, 9868_7999. Liczba jest pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego , którego iloraz jest równy .Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest taki sam jak pierwszy wyraz ciągu . . 328 495 429 49 70 113 429 57

które wyrazy ciągu an są mniejsze od liczby m